H1P3

2025-09-22

题目

设 与正整数 。求从 中选择如下 个子集的方案数：

满足约束：

解答

考虑以集合为节点，包含关系为边的有向图 ：如果存在从 到 的边，那么有约束关系 ，这构成了一个约束系统

可以通过特征向量形式化这一点：

给定全集 ，通过特征向量可以定义细分区域：

此题的核心就是求解给定图上的细分区域个数，也就是满足约束的 的个数

如果图为 ，那么细分区域有 ，共 个。一般地，如果此图是一条 元单向链，那么细分区域有 个

现在，考虑这个图：

用文氏图可以看出，细分区域有 ，共 个 由于我们只关注图上的细分区域个数，可以认为该图和下面的图等价：

这种变换非常无聊，真正有价值的是对子图的变换。如果 只是一个子图，而 除此之外还连着其他边，那么变换为 显然是不合法的操作。下面这个变换结果更有用，它在 连着其他边的情况下仍然合法，只在 连着其他边时不合法：

考虑这个变换的实际意义， 是对 的重命名， 是对 的重命名，依此可以定义原图 的特征向量 与新图 的特征向量 间的保持 “是否满足约束” 性质的双射，从而证明此变换不改变图的细分区域个数，是等价变换。

然后，考虑对如下子图的变换：

依旧文氏图，可以发现，只需要 没有其他边，就可以等价变换为一条头为 ，尾为 ，中间有 个节点的链，正中间的节点是 ，剩余节点均被重命名

上面这个变换已经足够处理本题的约束图，反复运用变换可以将图变为一条 个节点的链，故有 个细分区域

对于 中的每一个元素，可以自由选择其位于的细分区域，以此重建图中的集合，由乘法原理，答案为