H2P3

2025-10-02

题目

1. For any positive integers  and , define  as follows. For each way of writing  as an ordered sum of exactly  nonnegative integers, let  be the product of those  integers. Then  is the sum of all of the ’s that are obtained in this way. Find a suitable generating function of , and find the numbers themselves.
2. Let  be the number of ways to write  as an ordered sum of exactly  integers, each of which is at least . Find a suitable generating function of , and find the numbers themselves.

解答

1

solution 1

依据有序和中的第一个数分类，考虑如果出现 ，则乘积为 ：

令 的生成函数为

当

其中 故

solution 2

将 写为 个生成函数 之积， 对应有序和中第 个数

solution 3

令 的生成函数为 将 写为无穷个生成函数 之积， 对应有序和中 的个数

2

沿用第一问 solution 2 的思路：

令 的生成函数为

将 写为 个生成函数 之积， 对应有序和中第 个数