群论 1：集合乘法和群论基础

2026-05-22

0. 定义

有群 ，对于集合 ，定义乘积

可以把群元素看成单元素集，嵌入集合乘法，即

所以可以将元素与单元素集混用。

当 ，即 是 的子群，则 和 分别是左陪集和右陪集。

此外，定义

1. 基本性质

结合律与单位元

可以验证，集合乘法满足结合律，且有单位元 ：

这意味着群 的幂集 在集合乘法下构成幺半群。

包含关系

当然，由于有单位元 ，可以合并简写为：

另外，若 ，则

逆

以此类推。

另外，若 非空集合 ，则 ，

消去律

因此：

2. 子群

对于子群 ，有：

对于 非空集合 ：

合并规则的一个简单应用是

反过来，对于 非空集合 ，可以用下面的命题判定它是否是子群：

这个判定方法非常实用，下面给出三个例子：

例子 1

若 ，，则

证明：

例子 2

若 ，则在 的所有左陪集中，只有 本身是 的子群。

证明：

例子 3

若 ，则

先证

再证

3. 正规化

正规化子

子群 的正规化子定义为：

所以，正规化子包含了那些可以在集合乘法中与 交换的元素。

可以说：

但下面的命题不是恒真的：

显然有 ，因为

下面证明

1. ，
2. 若 ，则 ，，
3. 若 ，则 ，

正规子群

对于子群 ，下面列出的几个条件等价：

5. 对共轭运算封闭

若这些条件成立，则称 是 的正规子群，记作

这等价于，在集合乘法中， 可以和所有 的子集自由交换，即

举个例子，如果 ，则

特别地，如果 ，则 ，这导致可以定义商群

容易发现：

是正规子群。

从之前的命题可以立刻知道，正规子群与其他子群的乘积仍然是子群

下面证明，若 ，则

首先，因为 成立，所以

其次， 与任意元素 可交换：

4. 陪集与商群

左陪集相等条件

下面证明

若 ，则

若 ，设 ，则

由对称性

进一步，

拉格朗日定理

若 为有限群，，设 的所有左陪集形成的集族为 ，记

可以定义 到 的双射 ，所以每个左陪集大小均为

是 的划分，因此

一个推论是，

商群

当 ，我们证明了

这说明，陪集族 在集合乘法下封闭。

取单位元为 ， 的逆元为 ，则 在集合乘法下是一个群，称为商群。

应该注意到， 的逆正是 ，商群上的逆运算就是逐元素逆。

自然投影

定义映射：

则

所以 是群同态。

它的核为：

这说明：正规子群总是某个群同态的核。

5. 群同态

设

是群同态，即 恒成立。

那么可以证明：

定义 的核：

容易证明：

定义 在 下的像：

定义 的像：

可以证明，对任意集合 ，有

核

可以证明， 不仅是 的子群，还是 的正规子群：

于是，可以考虑商群

对于 ， 在同一个陪集中，等价于

等价于

所以，商群中的每一个元素恰巧是 中一个元素的原像。

对于 中的元素 ，它在 中的原像称为 在 下的纤维

由于纤维就是商群中的元素，即

并且，若 ，则

所以很容易证明下面的性质：

对于任意 ：

纤维

下面展示，如何不使用商群，直接用集合乘法证明 ，这一部分可以跳过。

先证

再证

由刚刚证明的包含关系可知：

两边右乘 ​，得到：

又可知：

因此：

得证。

第一同构定理

我们希望证明第一同构定理

首先验证 ，再找到 到 的群同构即可。

证明 ，也就是 ：

得证。

到 的群同构如下自然定义：

这显然是双射，只需验证群运算保持，即

这正是已经证明的 ，这就结束了。

其逆映射给出 的标准同构，这里反过来做是避免证明良定义。

6. 第二同构定理

设

则

且

证明 ：

由于 ，

所以

证明 ：

由于 ，，当然有

同时证明：

考虑自然投影 在 上的限制

因此

另外

由第一同构定理：

当然， 可以不通过构造同态证明，下面给出直接证明：

对于 ，