群论 2：群作用

2026-05-23

0. 定义

对于群 和非空集合 ， 在 上的一个（左）作用是满足一定条件的一个映射：

一般把 简写为

该映射需满足以下条件：

设群 作用在 上，对 ，定义：

为 的轨道，表示 可以经过群作用到达的对象。

为 的稳定子，表示所有保持 不变的群元素。

根据定义，立刻有：

该记号是集合乘法在群作用下的扩展，允许兼容的异质运算。

并且，容易验证

1. 轨道-稳定子定理

，等价于

所以 的每个左陪集将 映射到 的不同值。

那么

若 为有限群，则根据拉格朗日定理

2. 经典的群作用

左正则作用

令 作用在 上：

在这个作用下， 的任何两个元素都可以互相到达，则称这个群作用是传递的。

传递的群作用只有一个轨道

左正则作用的稳定子

由轨道-稳定子定理

得到了一个恒等式。

对左陪集族的左乘作用

对于 ，令 作用在 上：

特别地，若 ，则

这个作用是传递的，因此

下面计算 ，设

由于 ，这等价于

所以

特别地，

由轨道-稳定子定理

这说明拉格朗日定理可以视为轨道-稳定子定理的特殊情形。

可以发现，每个陪集 都被 的共轭子群 所稳定，那么可以研究， 能稳定哪些陪集？

是 的稳定子等价于

因此 的所有共轭子群都恰好是 个陪集的稳定子。

设 共有 个共轭子群，则

在后面的共轭作用中， 是轨道-稳定子定理的直接结果。

对幂集的左乘作用

令 作用在自己的幂集 上：

该作用将对象限制在子群 所在轨道时，就是 在 上的左乘作用

该作用将对象限制在所有单元素子集构成的轨道上时，与 在自身上的左正则作用自然等价。

研究该作用的轨道性质：

1. 空集是一个单独轨道
2. 整个群 是一个单独轨道
3. 同一个轨道内，集合的大小相同
4. 所有单元素集构成同一个轨道
5. 子群 的轨道是

研究该作用的稳定子：

对于

，等价于 且

其中， 等价于，对于任意 ，，

进而， 等价于

另一方面，若

则 ，而 是一个单射，所以当 有限时，可以知道

因此，当 有限时，

但 无限时，这通常不够，还需要考虑 ，也就是

这等价于

所以，当 无限时，下面的一般情况适用：

对幂集的共轭作用

令 作用在自己的幂集 上：

对任意子集 ：

的稳定子就是 的正规化子 。

立刻可以知道

研究该作用的轨道性质：

1. 空集是一个单独轨道
2. 整个群 是一个单独轨道
3. 同一个轨道内，集合的大小相同
4. 子群 的轨道是所有共轭子群 组成的，这也称为 的共轭类。

考虑单元素集所在的轨道，由于轨道上都是单元素集，不妨把 视为 ，这对应经典的共轭作用。

在共轭作用下，对于群元素

称为 的共轭类， 称为 的中心化子，

由轨道-稳定子定理

3. 群作用与同态

群作用是一个映射

加上群作用满足的条件，总可以依此确定 到对称群 的同态

满足

容易验证， 确实总是给出 上的置换，因为 就给出了 的逆映射。

可以研究这个同态的核

，当且仅当

因此

如果 ，即称这个群作用是 忠实作用，这等价于 是单射，即没有两个群元素在 上的作用效果相同。

我们知道，同态的核总是正规子群，因此

这个同态的核也可以称为该群作用的核。

Cayley 定理

任何群 的左正则作用总是忠实作用，这给出了 到 的一个单同态。

因此下面的 Cayley 定理成立：

任意群 都同构于 的某个子群。

4. 正规核

在 对 左乘作用中，作用的核是

这称为 的正规核

取 可以知道

另一方面，根据核的性质，立刻可以知道

这里给出直接证明，以说明 背后的直觉：

对任意 ，

所以 是包含于 的正规子群，下面证明它是包含于 的最大正规子群，即

对任意 ，

由 的任意性可知

由 的任意性可知

正规闭包

反过来，对于 ，存在包含 的最小正规子群 ，称为 的正规闭包。

对于任意 和包含 的正规子群 ，显然有

所以

但 本身未必是子群，所以考虑它生成的子群

它对共轭运算封闭，所以正是一个正规子群，那么

就是 中包含 的最小正规子群，即 的正规闭包。

5. 正规化子与中心化子

中心化子的定义

中心化子也可以对 的任意子集 定义

等价地

由于子群的交是子群，因此

中心化子的性质

首先，中心化子有反包含性质：

这是显然的，如果 可以与 中的所有元素交换， 自然可以与 中的所有元素交换。

另一个有趣的性质是：对于子集 ，有下面的事实

因为它们的含义都是： 的所有元素与 的所有元素可交换。

接下来利用这两个性质研究中心化子的嵌套性质。

令上式的 为 ，可以得到

这说明

令这里的 为 ，可以得到

另一方面，考虑中心化子的反包含性质：

令 ，可以得到

条件成立，所以

最终

将 记为 ， 记为 ，则可以总结为：

这代表 是闭包操作，因为下面的三条性质成立：

中心化子是正规化子的正规子群

可以得到正规化子与中心化子的如下关系：

是显然的，唯一值得证明的是

下面证明一般的情况。

设有 在 上的作用

则可以诱导出 在 上的作用

在幂集作用中，以下一般事实仍然成立：

1. 空集是一个单独轨道
2. 是一个单独轨道
3. 同一个轨道内，集合的大小相同

需要证明的事实是

这是正确的，考虑把 在 上的作用限制到子群 中。

这就得到了 在 上的作用。

正是这个新作用的核，因此

中心

定义子群 的中心

等价地

的中心就是 内部那些可以与所有内部元素交换的元素。

单位元 总是在 中，如果 ，则称 的中心是平凡的。

显然， 总是阿贝尔群，因此

根据定义，还立刻可以知道

的一个推论是

并且，对于 ，显然有如下事实成立：

注意，将 代入中心的定义，可得：

循环子群与中心化子

对于 ， 的幂 总能与 交换。

因此

这就可以得到

当然，由于 ，这导致 ，所以可以写为：

进一步地，只要 可以与 交换， 就可以与 交换，因此

所以

这比 更强。

6. 轨道分解

设 作用于 上，则 可以被划分为所有轨道的不交并。

记 为轨道长度为 的元素的集合，并且在所有其他轨道中选择代表元

则可以得到公式

如果 是一个有限 -群，即 ， 是素数，且 有限，那么有如下推论：