群论 3：Sylow 定理

2026-05-24

0. 组合数引理

证明 Sylow 定理需要一个组合数引理，下面给出加强版本：

对于素数 ，整数 和任意正整数 ，成立：

给出一个基于群作用的组合证明：

设 ，则

考虑 的大小为 的子集

则

考虑 在 上的作用：

这个作用自然诱导到 上。

是一个 -群，所以此时

为了计算 ，考虑 在 上的轨道：

每个轨道的大小均为

如果 被 固定，则 必须是以上轨道中一部分的并，由于 ，所以 是 个轨道的并。

所以

最后

1. Sylow 第一定理

若 为素数， ，，则 有大小为 的子群，称为 Sylow -子群。

考虑集合

则

由组合数引理

考虑 在 上的左乘作用。

则必然存在一个轨道 ，满足

设 ，则

另一方面

所以

就是一个大小为 的子群。

2. Sylow 第二定理

所有 Sylow -子群相互共轭。

设 是两个 Sylow -子群。

考虑 在 上的左乘作用，即 在 上的左乘作用在 上的限制。

是一个 -群，所以

所以 ，而轨道大小总是 的幂次，故必然存在轨道大小为

设它是 ，则 包含于限制前原作用下的稳定子

但

所以

即 与 共轭

3. Sylow 第三定理

若 有 个 Sylow -子群，则

从第二定理的证明继续：

由上一篇笔记中左乘作用的性质可知， 且恰有 个轨道的大小为

所以