Cochran 定理的证明

2025-02-28

Cochran 定理 的证明并不容易，于是在此总结：

引理 1 设 ， 相互独立， 服从正态分布 ， 为 阶正交方阵，

则 相互独立，且 ，其中

证：

的联合密度为

为正交方阵， ，记

那么

首先，变换 的 行列式 的绝对值为

其次，

故 的联合密度为

现在 可以分离，求边缘分布易知 ，进而联合密度等于各自密度乘积，独立性得证，证毕

引理 2 是对称矩阵，且 ，则以下三个命题等价：

注：以下证明摘自 知乎文章

证：

：

，故 的特征值 满足 ，， 的代数重数是 ， 的代数重数是 ，

：

构造秩为 的矩阵并初等变换：

那么

：

证毕

Cochran 定理 设 ， 相互独立，

是对称矩阵，，且 ，，

则 相互独立

进一步，记 ，若还有

则

证：

记 A_i 的列空间为 ，零空间为

由引理 2，， 的特征值 满足 ，， 的重数是 ， 的重数是 （实对称矩阵可以相似对角化，故代数重数等于几何重数）

那么 的特征子空间就是

又由引理 2

由于

故

那么对每个 选取标准正交基 ，按顺序合并所有基向量，得到 的一组标准正交基，记这组标准正交基构成正交矩阵 则

其中 为对角矩阵，在 个位置上为 ，其余为 ，由于 P 是按顺序合并基向量，事实上，记集合

那么 ， 互不相交，构成自然数子集 的一个划分，且

因此 的非零位置不重叠

现在我们得到 可以由 同时正交对角化，

设 ，那么由引理 1， 相互独立且

其中， 相互独立，故 相互独立，由于 互不相交，故 由互不重叠的 组成，因此 相互独立，前半部分证毕

接下来证明，若还有 ，则

记 ，注意，这里的记号与引理 1 完全一致，可以得到

故

进而

那么

证毕！