公理正交化

2026-06-14

0. 公理化

对于 ，定义

若：

1. 是可满足的

则 是理论（theory）

理论 是有限可公理化的，定义为有限公理集合 ，使得，

如果一个公理化满足对每个 ，

那么称这是独立公理化。

是独立公理化，等价于每个公理都有只违背它自己，不违背其他公理的反模型。

1. 正交化

每个有限公理化都可以改写为有限独立公理化，对于

令

则

是 的一个有限独立公理化。

这个过程类似在线性空间中提取一组基并正交化，使得 不仅是一个有限独立公理化，还满足一个特殊性质：任何一个 -结构至多违背 中的一个公理。

显然，对于独立公理化，其正交化不改变大小。

2. 例题

设 是一阶语言， 是由单个句子 公理化的理论。定义

证明：

1. 若 是 的独立公理化，则 有限。
2. 若 且 ，则
3. 有最大值 当且仅当存在互不相容的 complete sentences

使得，

第一问：

若 是 的独立公理化，则有

由紧致性定理的证明论形式，存在 的有限子集 ，从而 ，由于 独立，因此 ， 有限。

第二问只需将一部分公理取交即可。

主要考虑第三问：

引理

存在互不相容且可满足的 sentences ，使得 ，则

是 的独立公理化。

证明：

首先，

所以

只需证明 独立。

对于每个 ，由于 可满足，取模型 。任取 ， 与 不相容，所以

但

所以 就是只违背 自己，不违背其他公理的反模型。

if 方向

由引理可知，

是 的独立公理化。

因此，

下面证明 是最大值。

任取一个有限独立公理化并将其正交化为

那么

显然， 均可满足，下面证明

互不相容。

若 ，

由正交化性质， 至多违背一个公理，若 ，则 ，

所以对于 ， 与 总是不相容，得证。

由于

因此存在 ，使得 可满足。

由于 是 complete sentences，可以进一步知道

所以每个 都被某个 蕴含，而 两两不相容且 可满足，所以它们不能被同一个 蕴含。

因此，

only if 方向

设独立公理化 ，将 正交化为

则

且 均可满足且互不相容。

另一方面，由最大性可知， 都是 complete sentences，否则若 不是 complete sentences，即存在 使得 与 均一致，则可以用 与 替换 加入这个互不相容系统，由引理可以得到大小为 的独立公理化，矛盾。