用小学数学进行集合运算

2026-08-22

0. 对称差

固定全集 ，可以定义两集合的差与对称差

显然，对称差满足交换律。

事实上，对称差也满足结合律，可以把对称差看作示性函数的异或运算。

集合的示性函数是这样定义在 上的：

因此，它不仅满足交换律和结合律，还满足任何异或运算所拥有的性质，例如

这是因为

1. 布尔代数

布尔代数是一个代数结构

其中：

• 是一个非空集合；
• 是二元运算；
• 是一元运算；
• 是两个常元。

并且对任意 ，满足以下公理：

1. 交换律

2. 结合律

3. 分配律

4. 单位元

5. 补元

最简单的例子是布尔逻辑

定义

另一个例子是集合系统，也就是测度论中常说的“代数”。

设 是一个集合， 是 的一些子集组成的集合族。若满足

并且对任意 ，

那么称 是 上的一个代数。

显然，这可以推出

因此可以在 上定义布尔运算

并令

于是

就是一个布尔代数。

例如，取整个幂集

便得到一个布尔代数

这是集合论中最典型的布尔代数。

2. 布尔环

（含幺）布尔环是满足 恒成立的含幺环

可以推出两个基本性质：

首先

展开并利用 得

其次

展开得

因此

所以布尔环一定是交换环。

布尔代数和布尔环可以相互转换

设

是一个布尔代数

定义

以及

在布尔逻辑中，这里的加法就是异或；在集合代数中，这里的加法就是对称差。

容易验证， 构成一个布尔环。

反过来，设 是一个布尔环

定义

就得到一个布尔代数

因此布尔代数和布尔环只是同一种结构的两种写法。

3. 用布尔环进行计算

设 是集合 上的一个代数，则

就是它对应的布尔环。

于是，我们可以用布尔环的记号来计算，记号的转换是机械的：

这让许多集合等式的证明变得很容易：

例 1

翻译完再展开就结束了：

例 2

先翻译为待证等式：

两边都等于

得证。

例 3

先翻译为待证等式：

分别计算两边：

得证。

下面展示，这个技术同样可以用于证明包含关系，关键的转化是：

例 4（三角不等式）

先翻译为待证等式

只需化简左边

得证。

当然，该不等式有一个更简单且优雅的证明：

我们可以发现，不仅记号的转换是机械的，转换后通过化简来证明的过程也是机械的，只需要重复这几个步骤：

• 展开括号
• 利用 降幂
• 出现两次的项消掉

这就可以把任何式子化为一个标准型，这个标准型就是 algebraic normal form（ANF，代数正规形）