7.14

2026-07-14

周二

vibe

由于到 ddl 了，不得不 vibe coding 了 week1 的任务，很愧疚，但是事已至此，开摆！

测度论学习进度

这两天只看了第 21 和 22 课

第 21 课是 Radon-Nikodym Theorem，课上实际同时证明了勒贝格分解和 Radon-Nikodym Theorem。

这次一开始就给出了证明思路，所以非常容易理解，已知证明思路后基本没有什么困难的技术细节，都是熟悉的常规操作了

第 22 课介绍基础的三种收敛：

1. convergence almost everywhere
2. uniform convergence almost everywhere
3. almost uniform convergence

为了避免后两者混乱，我决定分别称为几乎处处收敛，零测集外一致收敛，几乎一致收敛。

第一个 story 是：不是所有收敛都能由一个度量决定，但零测集外一致收敛确实对应了一个等价类上的度量， 的本质上确界 (essential supremum)，而且实践证明，本质上确界是一个非常有用的证明工具

第二个 story 是：显然有 零测集外一致收敛 几乎一致收敛 几乎处处收敛，但实际上，Egorov 定理说明有限测度中，几乎处处收敛 几乎一致收敛

直觉上，几乎处处收敛似乎不能控制所有点的共同收敛速度，但 Egorov 定理意味着实际上可以通过删掉一个任意小测度集合来控制共同收敛速度。操作也很简单，对每个 删掉 后还没有以 接近目标的点，取足够大的 可以让删掉的点集任意小，而经典的 构造让被删掉的整个点集测度被 控制，而剩下的点总是在 后一致以 接近目标，所以剩下的点一致收敛，非常直观

自然语言没有涉及的技术细节在 “取足够大的 可以让删掉的点集任意小” 这个操作中，实际上用到了测度的从上连续性，所以需要测度有限的条件

第 23 课讲依测度收敛，这对应概率论中的依概率收敛，所以依测度收敛是非常重要的，还没有看这节课，不知道具体讲什么，明天看这节，明天也没课和 ddl，希望能一口气看完 23-25 吧！

另有集合论冷笑话一则：下极限