7.15

2026-07-15

周三

第 23 课：依测度收敛

首先举了打字机序列的例子，它依测度收敛，但并不几乎处处收敛

然后例行公事，证明依测度收敛的极限在几乎处处相等的意义下唯一，以及依测度收敛可以在等价类上定义，这是大家都有的基本性质

接着证明 Riesz 定理（不是 Riesz 表示定理）：依测度收敛 存在子列几乎处处收敛

其实，课上几乎已经证明了一个加强版：依测度收敛 存在子列几乎一致收敛。只是后面的处理比较粗糙，最后只证明了 Riesz 定理。当然，在有限测度空间，由于有 Egorov 定理，这不是一个真正的加强

到视频 31:45 为止，证明了

课上接下来的处理是对 取交集，得到

再进一步对补集上的每一个 分析，得到 几乎处处收敛

我们换一个处理方式，现在有

对 ，选择 充分大，使得 ，令 ，则

而当 时，有

所以 几乎一致收敛

最后，课上讨论了几乎处处收敛是否能推出依测度收敛

在勒贝格测度上，定义

则 显然处处收敛到 ，但并不依测度收敛

这里的直觉是，虽然每个 最终都会收敛，但每个时刻都还有非常多 距离目标很远，这是一致性的问题，事实上每个时刻都满足

很容易想到，有限测度情况下，几乎处处收敛 依测度收敛。因为根据 Egorov 定理，几乎处处收敛 几乎一致收敛，所以我们担心的一致性问题可以解决。从几乎一致收敛出发证明依测度收敛也确实是容易的，为了证明

对任意 ，取 满足 和 在 上一致收敛，则可以取足够大的 使得对于 ，有 在 上恒成立，所以

得证

chihao 在概率论讲义 Lecture 17 中给出了一个直接从几乎处处收敛出发的简洁证明！

第 24 课：Hölder 和 Minkowski 不等式

Otto

Hölder 是德国数学家 Otto Hölder，全名 Otto Ludwig Hölder（奥托·路德维希·赫尔德），Otto 和 Ludwig 是他的两个名

另一位著名的德国数学家 Hesse 正好全名为 Ludwig Otto Hesse，名恰巧也是 Otto 和 Ludwig，但顺序相反。他提出了 Hessian Matrix（海森矩阵）

同样是数学分析里，Stolz 定理中的 Stolz 指的是 Otto Stolz，一个以 Otto 为名的奥地利数学家

Radon-Nikodym 定理中的 Nikodym 指的是一个以 Otto 为名的波兰数学家 Otto Nikodym，全名 Otto Marcin Nikodym

好了，花點時間去挑戰數學更有趣的難題，不再討論這件事情了

定义

设 ，对可测函数 定义

特别地

Hölder 不等式

若

则

首先注意到只需要考虑 的情况，然后证明只需两行

另外， 的特殊情况由本质上确界的性质给出

Minkowski 不等式

对于

当 时，这是本质上确界的性质；当 时，这是绝对值的三角不等式。下面讨论 的情形

首先注意到只需要考虑 的情况，然后证明用 Hölder 不等式即可，这里不再抄一遍

视频 41:40 开始，可以看到一个证明上的漏洞：

现在有不等式

如果能两边同时除以 ，就证明了结论

但接下来为了 justify 除法的可行性，只考虑了 的情况，却没有考虑 的情况。事实上，我们需要事先证明

否则这里隐藏了一个循环论证。

为了填上这个漏洞，可以先进行一个更粗的估计：

第二个不等式来自凸函数的性质

所以

它的意义是，说明 满足三角不等式，从而在模去几乎处处相等关系后，它是范数，可以建立 赋范空间

由 Minkowski 不等式也成立，所以 也是赋范空间